6.3.1:Dvoretzky定理的证明
Dvoretzky定理的原始证明发表于1956年[31]，也存在其他证明方式。这里给出一个基于拟鞅(quasimartingale)的证明。借助拟鞅收敛定理，Dvoretzky定理的证明会比较直接。关于拟鞅的更多内容可参见附录C。
令
\[h_k\doteq \Delta_k^2.\]
则
\[\begin{aligned}
h_{k+1}-h_k
&=\Delta_{k+1}^2-\Delta_k^2\\
&=(\Delta_{k+1}-\Delta_k)(\Delta_{k+1}+\Delta_k)\\
&=(-\alpha_k\Delta_k+\beta_k\eta_k)[(2-\alpha_k)\Delta_k+\beta_k\eta_k]\\
&=-\alpha_k(2-\alpha_k)\Delta_k^2+\beta_k^2\eta_k^2+2(1-\alpha_k)\beta_k\eta_k\Delta_k.
\end{aligned}\]
对上式两边关于\(\mathcal{H}_k\)取条件期望，可得
\[\begin{aligned}
\mathbb{E}[h_{k+1}-h_k|\mathcal{H}_k]
&=\mathbb{E}[-\alpha_k(2-\alpha_k)\Delta_k^2|\mathcal{H}_k]\\
&\quad+\mathbb{E}[\beta_k^2\eta_k^2|\mathcal{H}_k]\\
&\quad+\mathbb{E}[2(1-\alpha_k)\beta_k\eta_k\Delta_k|\mathcal{H}_k].
\end{aligned}\tag{6.7}\]
首先，由于\(\Delta_k\)包含在\(\mathcal{H}_k\)中，因此在给定\(\mathcal{H}_k\)时它已经确定，可以从条件期望中拿出来。其次，考虑\(\alpha_k,\beta_k\)由\(\mathcal{H}_k\)决定的简单情况，例如\(\{\alpha_k\}\)和\(\{\beta_k\}\)是\(\Delta_k\)的函数，或者是确定性序列。此时它们也可以从条件期望中拿出来。因此式\((6.7)\)变为
\[\begin{aligned}
\mathbb{E}[h_{k+1}-h_k|\mathcal{H}_k]
&=-\alpha_k(2-\alpha_k)\Delta_k^2
+\beta_k^2\mathbb{E}[\eta_k^2|\mathcal{H}_k]\\
&\quad+2(1-\alpha_k)\beta_k\Delta_k\mathbb{E}[\eta_k|\mathcal{H}_k].
\end{aligned}\tag{6.8}\]
对于第一项，由\(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k^2<\infty\)可知\(\alpha_k\to0\)几乎必然成立，因此存在有限的\(n\)，使得对所有\(k\geq n\)都有\(\alpha_k\leq1\)几乎必然成立。不失一般性，下面只考虑\(\alpha_k\leq1\)的情况。此时
\[-\alpha_k(2-\alpha_k)\Delta_k^2\leq0.\]
对于第二项，由定理假设可知
\[\beta_k^2\mathbb{E}[\eta_k^2|\mathcal{H}_k]\leq \beta_k^2C.\]
第三项为零，因为定理假设给出
\[\mathbb{E}[\eta_k|\mathcal{H}_k]=0.\]
因此式\((6.8)\)可写为
\[\mathbb{E}[h_{k+1}-h_k|\mathcal{H}_k]
=-\alpha_k(2-\alpha_k)\Delta_k^2+\beta_k^2\mathbb{E}[\eta_k^2|\mathcal{H}_k]\leq \beta_k^2C.\tag{6.9}\]
于是
\[\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{E}[h_{k+1}-h_k|\mathcal{H}_k]
\leq \sum_{k=1}^{\infty}\beta_k^2C<\infty.\]
最后一个不等式来自条件\(\sum_{k=1}^{\infty}\beta_k^2<\infty\)。根据附录C中的拟鞅收敛定理，可以得到\(h_k\)几乎必然收敛。
接下来确定\(\Delta_k\)收敛到什么值。由式\((6.9)\)可得
\[\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k(2-\alpha_k)\Delta_k^2
=\sum_{k=1}^{\infty}\beta_k^2\mathbb{E}[\eta_k^2|\mathcal{H}_k]
-\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{E}[h_{k+1}-h_k|\mathcal{H}_k].\]
右侧第一项由定理假设可知是有界的；右侧第二项也是有界的，因为\(h_k\)收敛，所以\(h_{k+1}-h_k\)可求和。因此左侧的
\[\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k(2-\alpha_k)\Delta_k^2\]
也是有界的。由于我们考虑的是\(\alpha_k\leq1\)的情况，所以
\[\infty>\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k(2-\alpha_k)\Delta_k^2
\geq \sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k\Delta_k^2\geq0.\]
因此
\[\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k\Delta_k^2\]
是有界的。又因为
\[\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k=\infty,\]
所以必须有
\[\Delta_k\to0\]
几乎必然成立。