4.4 模型预测

原文	Time Series for Data Science - R Code used in Time Series: A Data Analysis Approach Using R
作者	Guangyu Wei
发布	2025-06-15
状态	Done

在预测中，目标是基于现在为止收集到的数据\((x_1,\cdots,x_n)\)去预测时间序列的未来值\(x_{n+m}\)。在本节中，我们假设模型参数是已知的。当模型参数未知时，我们采用它们的估计值进行替代。

要了解如何预测\(\text{ARMA}\)过程，研究\(\text{AR}(1)\)的预测很有帮助：

\[x_t=\phi x_{t-1}+w_t\]

首先，考虑提前一步预测，即给定数据\(x_1,\cdots,x_n\)，我们希望预测下一个时间点\(x_{n+1}\)的时间序列值。我们将这一过程称为预测\(x_{n+1}^n\)。总的来说，符号\(x_t^n\)是指，给定数据\(x_1,\cdots,x_n\)时预期的\(x_t\)。由于

\[x_{n+1}=\phi x_n +w_{n+1}\]

我们有

\[x_{n+1}^n=\phi x_n^n+w_{n+1}^n\]

但是由于我们知道\(x_n\)(这是我们的观测值之一)，因此\(x_n^n=x_n\)，并且由于\(w_{n+1}\)是未来的误差，并且独立于\(x_1,\cdots,x_n\)，所以我们有\(w_{n+1}^n=E(w_{n+1})=0\)。因此，提前一步预测是

\[x_{n+1}^n=\phi x_n\]

guangyu 注: \(x_t^n的定义如下\)

\(x_t^n=E(x_t |x_1,\cdots,x_n)\)

提前一步的均方预测误差(\(\text{MSPE}\))由下式给出

\[P_{n+1}^n=E\left[x_{n+1}-x_{n+1}^n\right]^2=E\left[x_{n+1}-\phi x_n\right]^2=Ew_{n+1}^2=\sigma_w^2\]

类似地，得到提前两步预测。由于模型是

\[x_{n+2}=\phi x_{n+1}+w_{n+2}\]

我们有

\[x_{n+2}^n=\phi x_{n+1}^n+w_{n+2}^n\]

同样，\(w_{n+2}\)是未来的误差，因此\(w_{n+2}^n=0\)。此外，我们已经知道\(x_{n+1}^n=\phi x_n\)，因此预测为

\[x_{n+2}^n=\phi x_{n+1}^n=\phi^2x_n\]

提前两步的\(\text{MSPE}\)由下式给出：

\[\begin{aligned}P_{n+2}^{n}&=E\left[x_{n+2}-x_{n+2}^n\right]^2=E\left[\phi x_{n+1}+w_{n+2}-\phi^2x_n\right]^2\\\\ &=E\left[w_{n+2}+\phi\left(x_{n+1}-\phi x_{n}\right)\right]^{2}=E\left[w_{n+2}+\phi w_{n+1}\right]^{2}=\sigma_{w}^{2}\left(1+\phi^{2}\right)\end{aligned}\]

guangyu 注: \(x_t^n的定义如下\)

\[E\left[w_{n+2}+\phi w_{n+1}\right]^{2}=E[w_{n+2}^2+2\phi w_{n+2}w_{n+1}+\phi^2w_{n+1}^2]=(1+\phi^2)\sigma_w^2\]

白噪声定义为：一组不相关的随机变量\(w_t\)，并且该组随机变量都具有零均值和有限方差\(\sigma_w^2\)。

将这些结果推广，对于\(m=1,2,\cdots\)，很容易得到提前\(m\)步预测：

\[x_{n+m}^n=\phi^m x_n,\tag{}\]

以及\(\text{MSPE}\):

\[P_{n+m}^n=E\left[x_{n+m}-x_{n+m}^n\right]^2=\sigma_w^2\left(1+\phi^2+\cdots+\phi^{2(m-1)}\right)\]

未完待续...(因为就考到这...)